로또 1등 확률과 등수별 확률, 계산식까지

로또 6/45의 1등 확률은 8,145,060분의 1입니다. 2등은 1,357,510분의 1, 3등은 35,724분의 1, 4등은 733분의 1, 5등은 45분의 1입니다. 어디서 본 숫자를 옮긴 것이 아니라 아래에 계산식을 그대로 적어 두었으니 직접 확인하실 수 있습니다.

전체 경우의 수부터

로또 6/45는 1번부터 45번까지 중에서 6개를 고르는 게임입니다. 순서는 상관없습니다. 그래서 전체 경우의 수는 조합 계산으로 나옵니다.

45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40 을 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 로 나누면 8,145,060 입니다. 이것이 나올 수 있는 모든 줄의 개수입니다.

한 줄을 사면 이 8,145,060개 중 하나를 가진 것입니다. 그래서 1등 확률이 8,145,060분의 1입니다.

등수별 확률과 계산식

각 경우의 수가 어떻게 나오는지 풀어 보겠습니다.

여기서 자주 헷갈리는 부분이 있습니다. 3등은 보너스를 제외한 38개 중에서 고르는데, 4등과 5등은 39개 중에서 고릅니다. 4등과 5등은 보너스가 맞든 안 맞든 등수가 달라지지 않기 때문입니다. 보너스가 등수를 가르는 것은 2등과 3등 사이뿐입니다.

그래서 한 장 사면 어떻게 되나요

한 장을 사면 열에 한 번 정도는 뭔가 맞습니다. 다만 그 대부분이 5등입니다. 5등과 4등은 당첨금이 회차와 상관없이 정해져 있고, 1등부터 3등까지는 그 회차의 판매액과 당첨자 수에 따라 매번 달라집니다.

156,095년이라는 숫자는 "오래 사면 언젠가 된다"가 틀렸다는 뜻이 아닙니다. 평균이 그렇다는 것이고, 매주의 확률은 전부 독립입니다. 지난주에 샀다고 이번 주 확률이 올라가지 않습니다.

60년을 매주 사도 1등을 못 할 확률이 99.96%입니다. 이 표는 겁을 주려는 것이 아니라, 로또를 저축이나 투자처럼 생각하면 안 된다는 뜻입니다.

여러 줄을 사면 확률이 얼마나 오르나요

오르기는 하지만 체감할 만큼은 아닙니다. 다른 줄을 사면 1등 확률은 산 줄 수만큼 그대로 곱해집니다.

여기서 눈여겨볼 것은 두 열의 차이입니다. 100만원을 써도 1등 확률은 8,145분의 1입니다. 반면 5등 이상은 5만원어치만 사도 70%가 넘습니다. 돈을 많이 쓸수록 "뭔가 맞는 경험"은 쉽게 늘지만 1등은 거의 그대로입니다. 복권이 재미있게 느껴지는 이유이자, 많이 사도 소용없는 이유이기도 합니다.

8,145,060을 직접 계산해 보기

계산기만 있으면 누구나 확인할 수 있습니다.

1. 첫 번째 공을 고르는 경우의 수는 45가지입니다.
2. 두 번째는 남은 44가지, 세 번째는 43가지, 이렇게 여섯 번째 40가지까지 곱합니다.
3. 45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40 = 5,864,443,200 입니다.
4. 그런데 로또는 뽑는 순서가 상관없습니다. 같은 6개를 뽑는 순서만 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 가지로 셀 수 있으니, 720으로 나눠 중복을 없앱니다.
5. 5,864,443,200 ÷ 720 = 8,145,060 입니다.

이 숫자가 모든 것의 출발점입니다. 등수별 확률도 전부 여기서 나옵니다.

1 2 3 4 5 6 은 정말 나올 수 있나요

나올 수 있고, 확률도 다른 어떤 조합과 똑같이 8,145,060분의 1입니다.

사람들이 이상하게 느끼는 이유는 "고르게 흩어진 조합"이 훨씬 많기 때문입니다. 흩어진 조합이 수백만 가지라서 그중 하나가 나오는 것은 당연해 보이고, 1 2 3 4 5 6 은 하나뿐이라 특별해 보입니다. 하지만 비교해야 하는 것은 "흩어진 조합 전체"와 "1 2 3 4 5 6 하나"가 아니라, 조합 하나와 조합 하나입니다. 그러면 똑같습니다.

실제로 1 2 3 4 5 6 을 사는 사람은 꽤 많습니다. 만약 그 번호가 나오면 당첨금을 아주 많은 사람이 나눠 가지게 됩니다. 확률이 낮아서가 아니라 나눠 갖기 때문에 손해라는 이야기는 성립합니다. 확률 이야기와 당첨금 이야기는 다른 문제입니다.

지금까지 나온 번호가 또 나올 수 있나요

나올 수 있습니다. 그리고 생각보다 그럴 만합니다.

지금까지 1,245회쯤 추첨했으니 세상에 나온 1등 조합은 1,245개입니다. 전체 8,145,060개 중 0.0153%뿐입니다. 즉 이번 주에 나올 조합은 거의 확실하게 **한 번도 나온 적 없는 새 조합**입니다.

그런데 "어느 두 회차가 서로 같을 확률"은 전혀 다른 이야기입니다. 특정 조합 하나를 노리는 것이 아니라 1,245개 회차끼리 짝을 지어 보는 것이라 경우의 수가 훨씬 많아집니다. 생일이 같은 사람을 찾는 문제와 같은 구조입니다.

지금까지는 9% 정도라 아직 안 겹쳤을 가능성이 큽니다. 다만 추첨이 3,362회쯤 쌓이면 어딘가에서 같은 조합이 두 번 나왔을 확률이 절반을 넘어갑니다. 매주 한 번씩이면 2060년대 중반쯤입니다. 그때 "똑같은 번호가 또 나왔다"는 기사가 나와도 이상한 일이 아니라는 뜻입니다.

연속 번호는 피해야 하나요

피할 이유가 없습니다. 오히려 연속 번호가 들어간 조합이 더 흔합니다.

45개 중 6개를 고를 때 연속한 두 수가 하나도 없는 조합은 3,838,380개입니다. 전체 8,145,060개 중 47.1%입니다. 바꿔 말하면 **나머지 52.9%는 연속 번호를 포함합니다.** 즉 아무 조합이나 하나 뽑으면 절반 이상에 연속 번호가 들어 있습니다.

그러니 7 8 처럼 붙은 번호가 나왔다고 다시 뽑을 필요가 없습니다. 그게 더 흔한 모양입니다.