홀짝 연속 기록의 수학, 몇 번까지 이어지는 게 정상인가

홀짝을 하다 보면 같은 결과가 줄줄이 나오는 구간을 만납니다. 홀 홀 홀 홀 홀. 그럴 때 "이제 짝이 나올 차례"라는 생각이 듭니다. 이 글은 그 생각이 왜 틀렸는지를 말하는 글이 아니라, 연속이 몇 번까지 나오는 것이 정상인지를 숫자로 보여주는 글입니다. 결론부터 말하면 생각보다 훨씬 길게 이어집니다.

연속 확률

여기까지는 "정해진 자리에서 거기부터 n번 연속일 확률"입니다. 하루 443판 어딘가에서 그런 구간이 나올 확률은 이것보다 훨씬 높습니다. 자리가 443군데나 있기 때문입니다.

하루 443판에서 몇 번 나오나

443판을 쭉 늘어놓고, 그 안에 길이 n짜리 연속 구간이 몇 번 들어 있는지를 세면 이렇게 됩니다.

다섯 번 연속은 하루에 열세 번쯤 나옵니다. 흔한 일입니다. 여덟 번 연속도 하루에 한두 번은 나옵니다.

그런데 사람 눈에는 다섯 번 연속만 봐도 "이상하다"는 느낌이 듭니다. 공정한 동전을 443번 던지면 당연히 생기는 일인데, 그 당연함이 직관과 어긋납니다.

하루 중 가장 긴 연속은

443판 전체에서 가장 긴 연속 구간의 길이를 묻는 것이 더 재미있습니다. 대략 443을 2로 몇 번 나눌 수 있는지에 가깝습니다.

하루를 지켜보면 대개 여덟아홉 번 연속은 한 번씩 나옵니다. 열두 번 연속도 열흘에 한 번쯤 봅니다.

이 수치를 알고 보면 긴 연속을 만났을 때의 느낌이 달라집니다. 뭔가 이상한 일이 아니라 하루에 한 번쯤 있는 일입니다.

도박사의 오류

홀이 여덟 번 연속 나왔습니다. 다음은 짝일 확률이 높을까요. 아닙니다. 여전히 50%입니다.

이것이 틀린 이유는 단순합니다. 추첨은 앞의 결과를 모릅니다. 저장하지도 않고 참고하지도 않습니다. 매번 처음부터 다시 뽑습니다.

세 번째가 가장 헷갈리는 부분입니다. 길게 보면 비율이 50%에 가까워지는 것은 맞습니다. 그런데 그것은 앞의 치우침을 메우는 방식이 아니라, 판 수가 늘어나면서 앞의 치우침이 전체에서 차지하는 비중이 작아지는 방식입니다.

예를 들어 10판에서 홀이 8번 나왔다면 80%입니다. 여기서 1,000판을 더 해서 홀이 500번 나왔다면 전체는 508/1010 = 50.3%입니다. 짝이 몰아서 나와 메운 것이 아니라, 처음의 6번 차이가 1,010판 안에서 작아진 것입니다.

하루 443판의 홀 개수

하루에 홀이 몇 번 나오는지도 범위가 있습니다.

하루에 홀이 240번 나왔다면 "홀이 많이 나온 날"이지만 이상한 날은 아닙니다. 공정한 추첨에서도 흔히 생기는 범위 안입니다.

반대로 하루에 홀이 270번 나왔다면 그건 드문 일입니다. 그런 날이 며칠씩 이어진다면 뽑는 방법을 들여다볼 이유가 됩니다.

연속 기록을 세는 재미

이 게임에는 전략이 없으니 남는 것은 연속 기록뿐입니다. 몇 번까지 맞춰 봤는지가 유일하게 쌓이는 숫자입니다.

참고로 이것은 443판을 전부 참여했을 때의 이야기입니다. 하루에 열 판만 들어온다면 열 판 연속 적중은 1,024분의 1 그대로입니다.

화면에 보이는 기록은 최근 10판입니다. 그보다 긴 연속을 세고 싶으면 직접 적어 두셔야 합니다. 순위표를 만들지 않은 이유는 운으로 정해지는 숫자를 실력처럼 보이게 하고 싶지 않아서입니다.