궤도를 계산하는 방법, 룽게-쿠타와 에너지 보존

궤도를 그리는 방법은 두 가지입니다. 타원 공식을 풀어서 바로 그리는 방법과, 매 순간 힘을 계산해서 조금씩 움직이는 방법입니다. 이 실험실은 두 번째를 씁니다. 느리지만 어떤 상황에서도 통하고, 계산이 틀렸는지 눈으로 확인할 수 있기 때문입니다.

매 순간 계산하기

지금 위치에서 행성까지의 거리를 구하고, 그 거리로 중력 가속도를 계산합니다. 그 가속도로 속도를 조금 바꾸고, 바뀐 속도로 위치를 조금 옮깁니다. 이것을 반복합니다.

이 방식의 장점은 공식을 몰라도 된다는 것입니다. 타원인지 쌍곡선인지 따질 필요 없이 그냥 힘을 계산하면 결과가 알아서 나옵니다. 땅에 부딪히는 경우도 자연스럽게 처리됩니다.

단점은 조금씩 어긋난다는 것입니다. 한 번에 움직이는 간격이 클수록 실제 경로에서 멀어집니다.

4차 룽게-쿠타

가장 단순한 방법은 "지금 가속도로 한 칸 움직이기"입니다. 그런데 움직이는 동안에도 가속도가 계속 바뀌기 때문에 이 방법은 금세 어긋납니다. 궤도가 바깥으로 벌어지면서 나선을 그립니다.

그래서 한 칸을 움직일 때 네 번 계산합니다.

네 결과를 가중평균해서 한 칸을 움직입니다. 계산량이 네 배가 되지만 오차는 훨씬 작아집니다. 간격을 절반으로 줄이면 오차가 16분의 1이 되는 성질이 있습니다.

이 방법을 4차 룽게-쿠타라고 부릅니다. 궤도 계산에서 가장 널리 쓰이는 기본기입니다.

시간 간격을 바꿔 가며

길쭉한 타원 궤도에서는 행성 가까이에서 아주 빠르고 멀리서는 아주 느립니다. 같은 간격으로 계산하면 가까운 쪽에서는 너무 성기고 먼 쪽에서는 쓸데없이 촘촘합니다.

그래서 간격을 거리에 맞춰 바꿉니다. 거리의 1.5제곱에 비례하게 두었습니다.

1.5제곱은 케플러 제3법칙에서 온 모양입니다. 궤도 주기가 장반경의 1.5제곱에 비례하기 때문에, 그 비율로 간격을 잡으면 궤도 한 바퀴를 거의 균등한 각도로 나누게 됩니다.

덕분에 31,906킬로미터까지 올라가는 긴 타원도 가까운 쪽에서 어긋나지 않고 돌아옵니다.

에너지 그래프가 검산입니다

화면 아래에 에너지 그래프가 있습니다. 세 선이 그려집니다.

물리 법칙상 이 합은 변하지 않아야 합니다. 중력 말고 다른 힘이 없기 때문입니다. 행성 가까이에서는 속도가 빨라져 운동 에너지가 오르고 위치 에너지가 내려가는데, 그 둘이 정확히 상쇄되어야 합니다.

그래서 합을 그리는 선이 평평하게 유지되는지 보면 계산이 제대로 되고 있는지 알 수 있습니다. 이 선이 서서히 올라가거나 내려가면 계산이 어긋나고 있다는 뜻입니다.

이 그래프를 넣은 이유가 그것입니다. 보기 좋으라고 넣은 것이 아니라 계산이 맞는지 보려고 넣었습니다. 간격을 잘못 잡거나 룽게-쿠타를 잘못 짜면 이 선이 바로 기울어집니다.

궤도 요소 세 가지

매 순간 위치와 속도로부터 세 가지를 계산해서 보여줍니다.

비에너지의 부호 하나로 묶인 궤도인지 탈출인지가 바로 갈립니다. 모양을 그려 보지 않아도 숫자만으로 압니다.

장반경은 비에너지로부터 나옵니다. 비에너지가 음수일 때만 의미가 있고, 그 값으로 주기까지 구할 수 있습니다.

화면 위 배지에 결과가 세 가지 중 하나로 뜹니다. 충돌, 묶인 궤도, 탈출 경로입니다. 슬라이더를 움직이면 이 배지가 실시간으로 바뀝니다.

점선으로 미리 보여주기

발사 버튼을 누르면 물체가 움직이기 전에 점선이 먼저 그려집니다. 같은 계산을 미리 한 바퀴 분량 돌려 둔 것입니다.

묶인 궤도면 한 바퀴를 다 그리고 멈춥니다. 탈출 경로면 행성 반지름의 40배까지 그리고 멈춥니다. 땅에 부딪히는 궤도면 부딪히는 지점에서 멈춥니다.

점선이 있으면 좋은 점이 둘입니다. 기다리지 않고 결과를 알 수 있고, 실제 물체가 그 점선을 벗어나지 않는지 눈으로 확인할 수 있습니다. 벗어난다면 계산이 어긋나고 있다는 뜻입니다.

화면의 배율도 이 예상 경로로 정합니다. 가장 멀리 가는 지점에 맞춰 자동으로 줄이거나 늘립니다. 그래서 원궤도일 때는 행성이 크게 보이고, 31,906킬로미터까지 올라가는 궤도에서는 행성이 작은 점이 됩니다.