궤도 속도와 탈출 속도, 7.67과 10.85는 어디서 나오나

인공위성이 떨어지지 않는 이유는 빨리 떨어지고 있기 때문입니다. 아래로 떨어지는 만큼 옆으로 나아가서 행성이 그만큼 휘어져 내려가면 거리가 안 바뀝니다. 그 균형이 맞는 속도가 있고, 그 속도의 루트 2배가 되면 아예 떠나 버립니다. 아래는 그 숫자들을 직접 구해 본 것입니다.

이 실험실의 설정

고도 400킬로미터는 실제 저궤도 위성들이 도는 높이와 비슷합니다. 그 높이에서 던지면 어떻게 되는지를 보는 실험실입니다.

원궤도 속도

원을 그리려면 중력이 당기는 힘과 원운동에 필요한 힘이 같아야 합니다. 식을 정리하면 속도의 제곱이 "중력 상수 곱하기 질량 나누기 거리"가 됩니다.

이 속도로 정확히 수평으로 던지면 이심률이 0이 되어 완전한 원이 됩니다. 실험실에서 속도를 7.7로 맞추고 각도를 0으로 두면 그 원이 나옵니다.

이 궤도의 주기는 92.4분입니다. 한 시간 반에 행성을 한 바퀴 돕니다.

탈출 속도

탈출 속도는 위치 에너지를 전부 이겨 낼 만큼의 운동 에너지를 가진 속도입니다. 계산하면 원궤도 속도에 루트 2를 곱한 값이 나옵니다.

이 관계는 행성이 무엇이든, 거리가 얼마든 똑같습니다. 어느 지점에서든 그 지점의 원궤도 속도에 1.414를 곱하면 그 지점의 탈출 속도입니다.

정확히 탈출 속도로 던지면 포물선이 됩니다. 무한히 멀어지면서 속도가 0에 가까워집니다. 그보다 빠르면 쌍곡선이 되어, 아무리 멀어져도 속도가 남습니다.

속도별 결과

7.671보다 느린 쪽을 보면 흥미로운 점이 있습니다. 원지점 고도가 전부 400킬로미터입니다. 발사한 지점이 그 궤도에서 가장 높은 점이 되는 것입니다. 거기서부터는 계속 내려가기만 합니다.

7.671보다 빠른 쪽은 반대입니다. 근지점이 전부 400킬로미터입니다. 발사한 지점이 가장 낮은 점이 되고, 거기서 올라갔다가 돌아옵니다.

10 km/s면 원지점이 31,906킬로미터까지 올라갑니다. 행성 반지름의 다섯 배입니다. 한 바퀴 도는 데 561분, 아홉 시간 넘게 걸립니다.

각도를 바꾸면

속도를 8.5 km/s로 고정하고 각도만 바꿔 봅니다.

0도에서 조금만 벗어나도 근지점이 땅 아래로 내려갑니다. 30도만 기울여도 지하 2,316킬로미터입니다. 한 바퀴 돌아오면 반드시 부딪힙니다.

양수와 음수가 같은 숫자가 나오는 것이 눈에 띕니다. 바깥으로 30도 던지나 안으로 30도 던지나 궤도의 모양은 똑같습니다. 궤도의 크기와 모양을 정하는 것은 속도의 크기와 각운동량인데, 각도의 부호는 그 둘을 바꾸지 않기 때문입니다.

이것이 실제 로켓이 수평으로 가속하는 이유입니다. 위로 쏘아 올리는 것은 공기를 빠져나가기 위한 것이고, 궤도에 올리는 일은 거의 전부 수평 속도를 붙이는 작업입니다.

행성 질량을 바꾸면

속도는 질량의 제곱근에 비례합니다. 질량을 네 배로 하면 속도가 두 배가 됩니다. 다섯 배로 하면 2.24배입니다.

재미있는 지점이 하나 있습니다. 0.5배 행성의 탈출 속도가 1배 행성의 원궤도 속도와 똑같이 7.67입니다. 질량이 절반이면 탈출에 필요한 속도가 루트 2분의 1로 줄어드는데, 그게 마침 루트 2배와 상쇄됩니다.

슬라이더를 0.1배로 내려 보면 아주 느린 속도로도 궤도가 생깁니다. 작은 달 같은 천체에서는 걷는 속도보다 조금 빠르게 뛰어도 떠날 수 있다는 말이 왜 나오는지 보입니다.